Изучаем теплый пол, часть II

Тепловой комфорт: при оптимальных затратах максимальный эффект (страница 2)

Конкретно говоря, решается задача теплопроводности трехслойной стены в плоской геометрии с учетом как обычной теплопроводности, так и переноса энергии излучением в области пористой теплоизолирующей вставки. Схема геометрии трехслойной стены показана на Рис. 1.

На этом рисунке и везде по тексту далее будем использовать следующие обозначения:

Т₁ - температура границы между внутренней бетонной плитой (слой 1) и пористой вставкой (слой 2);

Т₂ - температура границы между пористой вставкой и наружной бетонной плитой (слой 3);

Т₃ - температура наружной поверхности стены (температура "улицы");

а_1,2,3 - толщины слоев, в метрах;

1,2,3 - теплопроводности слоев, в Вт/(м°К);

к_1,2 - коэффициенты серости границ пористой вставки (значения к ~1 отвечают "очень черной" поверхности, поглощающей практически все излучение, которое на нее падает; значения к ~0,01 – 0,05 отвечают практически полному отражению энергии падающего излучения);

- коэффициент поглощения излучения, м^-1;

- постоянная Стефана-Больцмана;

Р - плотность тепловой мощности, Вт/м².

Обычно при проектировании теплоизоляции стен в жилых помещениях мало кому приходит в голову принимать во внимание перенос тепла излучением (все же, объективности ради, оговоримся, что раз промышленность фольгированные материалы выпускает, то кому то это все же в голову приходит). Поэтому начнем обсуждение с "традиционной" схемы расчета теплового потока, учитывающей только теплопроводность компонентов сборки. Если лучевой теплоперенос в пористом слое несуществен, то при заданной "температуре улицы" T₃ и плотности тепловой мощности Р, подаваемой источниками тепла в расчете на один квадратный метр поверхности стены, температуры границ слоев со скачком коэффициента теплопроводности определяются из соотношений:

Они означают, что тепловой поток передается без потерь из слоя в слой, так и должно быть в стационарном режиме. Другими словами, искомые температуры границ слоев последовательно определяются из формул:

Если же, помимо величины "температуры улицы", мы зададимся желательной величиной скачка температуры на всей сборке Т = T₀ - T₃, то однозначно определим требуемую для его поддержания величину плотности теплового потока и температуры границ теплоизолятора:

Эти формулы использовались нами в качестве тестовых для сравнения с результатами расчетов, учитывающих вклад лучистого теплопереноса.

Оговоримся сразу, что теория переноса излучения в веществе сложна и строгое следование канонам этой науки завело бы нас слишком далеко от целей настоящего изложения. Рассмотрим поэтому для оценки влияния лучистой теплопроводности в качестве первого шага простую модель переноса в веществе слоя теплоизолятора, предполагая коэффициент поглощения излучения внутри него равным нулю (т.е. длина пробега фотонов считается значительно превышающей длину слоя), а коэффициенты серости границ слоя - равными единице. Плотность потока теплового излучения границ слоя в этом случае (здесь считаем, что температура измеряется в градусах Кельвина, этого мы и будем придерживаться в этом разделе), равные:

полностью поглощаются противолежащей границей. Поверхности границ считаем черными. Тогда полная переносимая в слое теплоизолятора плотность теплового потока будет складываться из теплопроводностной и лучистой частей

Перенос тепла за счет теплопроводности определяется соотношением:

уже неоднократно цитировавшимся нами выше, здесь а – толщина слоя. Лучистая часть плотности теплового потокапросто равна разности введенных выше плотностей потоков излучения Р₁₂ и Р₂₁, так что мы получаем

В результате для полной плотности потока получаем:

Как мы видим, формула все еще оказывается громоздкой, а потому "неудобоваримой". Чтобы ее смысл стал более прозрачен, воспользуемся тем, что отношение плотности теплового потока за счет излучения и за счет теплопроводности можно представить в виде отношения двух длин

где

характерная толщина слоя, при которой перенос тепла излучением и обычной теплопроводностью равны по величине. При записи этой формулы мы учли, что интересующий нас диапазон разностей температур не очень широкий, не превышает нескольких десятков градусов, а потому эта характерная толщина определяется главным образом средним арифметическим температур его границ.

С помощью этого удобного параметра полный тепловой поток можно записать так:

Теперь мы видим, что если толщина слоя теплоизолятора меньше характерной толщины aизл, то главным образом тепло переносится обычной теплопроводностью, и вкладом излучения можно пренебречь. В обратном пределе основным является механизм лучистой теплопроводности.

Для большей наглядности приведем конкретную оценку. Для большинства употребительных на практике теплоизоляторов коэффициент теплопроводности составляет = 0.01-0.1 Вт/мК, тогда, считая среднюю температуру слоя равной около 300°К, получаем оценку

Например, для атмосферного воздуха, когда, как известно, коэффициент теплопроводности составляет =0,025 Вт/мК, будет a_изл=4 мм. Таким образом, если толщина воздушного слоя составляет около одного миллиметра, то излучательная теплопередача дает не менее четверти полной мощности теплопередачи, а если толщина воздушного слоя превышает один сантиметр, то излучательная теплопередача при поглощающих стенках примерно в 2,5 раза превышает обычную газовую теплопроводность. Поэтому есть прямой смысл уменьшить излучательную теплопередачу с помощью покрытия границ слоя хорошо отражающей пленкой. Отметим, что для лучших теплоизоляторов из вспененных материалов коэффициент теплопроводности не намного хуже его значения для воздуха, и составляет примерно 0,03 Вт/мК.

В диапазоне длин волн инфракрасного излучения 5-10 мкм, отвечающего комнатной температуре излучающей поверхности, коэффициент отражения , например, алюминиевой фольги, может быть найден из соотношения

где:

- доля поглощенного излучения (по закону Кирхгофа равная излучательной способности слоя),

- коэффициент пропускания фольги. Поскольку при толщине фольги, превышающей толщину скин-слоя, равную 100-500 Ангстрем (Ангстрем – это единица измерения длины специально придуманная физиками для измерения очень малых длин, например, таких как размер атома или длина коротковолновой световой волны; один Ангстрем составляет одну стомиллионную сантиметра), коэффициент пропускания почти равен нулю, то инфракрасное излучение через алюминиевую пленку не проходит, несмотря на то, что длина волны излучения превышает толщину пленки! Таким образом, можно считать, что коэффициент отражения и излучательная способность (так называемый "коэффициент серости") металлической пленки связаны соотношением:

Поэтому хорошо отражающее тело, для которого близко к единице, имеет низкую излучательную способность.

Изложенные в предыдущем разделе соображения, демонстрирующие важную роль учета лучистого теплопереноса, к сожалению, не достаточны для детального сравнения с экспериментом. Реальные материалы никогда не бывают "абсолютно черными" или стопроцентно отражающими излучение. В данной модели коэффициент серости пленки на границе 1 (см. рис. 1) обозначен через к₁, а на границе 2 - через к₂. Коэффициенты отражения соответственно будут равны 1- к1 на границе 1 и 1- к₂ на границе 2. Транспортом излучения в области бетонных обкладок пренебрегаем, полагая, что оно поглощается в узких приповерхностных слоях. Предполагается, что излучение Р₁₂, выходящее их границы 1 в пористый слой 2 постепенно ослабляется по закону